連立方程式 5y + 2 + 2zx = 0、5x + 5 + 2zy = 0、x² + y² = 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   ラグランジュの構造を見抜く。 これらはちょうど、単位円上で $f(x,y)=5xy+2x+5y$ を最適化するときの停留条件である。$g=x^{2}+y^{2}-1$ として $\nabla f+z\nabla g=0$ であり、$z$ が未定乗数である。これが分かれば、解が 4 組（最大・最小が 2 つと鞍点型が 2 つ）になることが予想でき、どの答えも円の上になければならないと分かる。

2. 2

   条件式を媒介変数で表す。 $x=\cos t$、$y=\sin t$ と置けば 3 つ目の式は自動的に満たされ、最初の 2 つは

   $5\sin t+2+2z\cos t=0,\qquad 5\cos t+5+2z\sin t=0$

   になる。

3. 3

   未定乗数 $z$ を消去する。 1 つ目に $\sin t$、2 つ目に $\cos t$ を掛けて引く。$2z\sin t\cos t$ の項が打ち消し合う：

   $5\sin^{2}t+2\sin t-5\cos^{2}t-5\cos t=0$

   $t$ についてのこの 1 本の方程式は $[0,2\pi)$ でちょうど 4 個の解を持つ。解が 4 組という数はここから来ている。

4. 4

   有理数の 2 組を読み取る。 4 個の解のうち 2 個は見慣れた点を与える。$(x,y)=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ では 1 つ目の式が $4+2+2z\cdot\tfrac35=0$ となるので $z=-5$ であり、2 つ目の式は $3+5+2(-5)\tfrac45=8-8=0$ ✓ となる。$(x,y)=(-1,0)$ では 1 つ目が $0+2+2z(-1)=0$ となるので $z=1$、2 つ目は $-5+5+0=0$ ✓ となる。

5. 5

   残る 2 組を求める。これらには $\sqrt{11}$ が現れる。 残り 2 個の解は $20x^{2}+12x-7=0$ と $20y^{2}+24y+5=0$ を満たし、

   $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6-\sqrt{11}}{10},\ \frac{4+\sqrt{11}}{2}\right),\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6+\sqrt{11}}{10},\ \frac{4-\sqrt{11}}{2}\right)$

   が得られる。

6. 6

   すべての候補を 3 つの式すべてで検証する。とくに条件式で確かめる。 $\sqrt{11}$ の組については $x^{2}+y^{2}=\dfrac{9-12\sqrt{11}+44}{100}+\dfrac{36+12\sqrt{11}+11}{100}=\dfrac{100}{100}=1$ ✓ であり、$\left(\sqrt{11}\right)^{2}=11$ を使って最初の 2 式を展開すると、どちらもちょうど $0$ になる。この確認は欠かせない。$x^{2}+y^{2}=1$ を満たさない解の候補は、どれほど形が整っていても誤りだからである。