x^6 + 4x^5 - 4x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 8x + 10 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず有理根を探す。 有理根定理により、有理数の解は定数項 $10$ の約数でなければならない。候補は $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$ である。$x=1$ は係数を足すだけで判定できるので最も速い。

   $1+4-4+4-7-8+10=0$

   したがって $x=1$ は解であり、$(x-1)$ は因数である。6 次方程式は公式では手も足も出ないので、1 つ根を見つけることが決定的な突破口になる。

2. 2

   組立除法で $(x-1)$ を割り出す。 係数 $1,4,-4,4,-7,-8,10$ と除数の値 $1$ で計算すると、商は

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10$

   となり、余りは $0$ で根であることが確認できる。

3. 3

   5 次式を 2 項ずつくくって因数分解する。 係数は $(1,5),(1,5),(-2,-10)$ と組になり、いずれも比が $1:5$ である。これは共通因数 $(x+5)$ がある印である。

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10=x^{4}(x+5)+x^{2}(x+5)-2(x+5)=(x+5)\left(x^{4}+x^{2}-2\right)$

4. 4

   4 次式を $x^{2}$ についての 2 次式として扱う。 $y=x^{2}$ とおくと

   $y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)\ \Longrightarrow\ x^{4}+x^{2}-2=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(x^{2}+2\right)(x-1)(x+1)$

   となる。$(x-1)$ が 2 度目に現れていることに注目したい。重解はここから生じる。

5. 5

   因数分解を組み上げる。

   $(x-1)^{2}(x+1)(x+5)\left(x^{2}+2\right)=0$

   これを展開し直すと元の係数 $1,4,-4,4,-7,-8,10$ がそのまま戻る ✓。一連の手順が破綻していないことの確認になる。

6. 6

   6 つの解を読み取る。 各因数を 0 とおくと

   $x=1\ \text{（重解）},\quad x=-1,\quad x=-5,\quad x=\pm i\sqrt2$

   となる。重複度を込めて数えれば 6 個であり、6 次多項式について代数学の基本定理が要求するとおりである。実数解は 4 つ（$1$ が重複）、残りは共役な純虚数の組である。