2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 を x − 1 で割れ。

Step-by-step solution

1. 1

   組立除法を選び、正しい代入値を求める。 割る式 $x-1$ は 1 次でモニックなので、組立除法が使える。$x-1=0$ とおいて値 $x=1$ を得る——符号に注意したい。割る式 $x-1$ に対して使うのは $-1$ ではなく $+1$ である。

2. 2

   係数を順に、ゼロも含めて書き並べる。 この被除数はすべての次数がそろっているので、並びは

   $2,\ -1,\ -5,\ 2,\ 2$

   である。（もし欠けている次数があれば、その場所に $0$ を入れなければならない。省くのが組立除法の典型的な誤りである。）

3. 3

   下ろして繰り返す：1 を掛けて次の係数に足す。

   $2;\quad -1+2=1;\quad -5+1=-4;\quad 2+(-4)=-2;\quad 2+(-2)=0$

   代入値が $1$ なので掛け算の段階は自明であり、手順は係数を順に足していく累計にすぎない。

4. 4

   商と余りを読み取る。 最初の 4 つが商の係数で、被除数より 1 次だけ低い。最後の 1 つが余りである：

   $\text{商}=2x^{3}+x^{2}-4x-2,\qquad \text{余り}=0$

5. 5

   余りがゼロであることの意味を読む。 因数定理により、余り $0$ は $x=1$ が被除数の解であり、$(x-1)$ が正真正銘の因数であることを意味する：

   $2x^{4}-x^{3}-5x^{2}+2x+2=(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$

   実際、被除数の係数の和は $2-1-5+2+2=0$ であり、これがまさに $x=1$ を試すときの近道である。

6. 6

   掛け戻して検算し、さらに一歩進める。 $(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$ を展開するともとの 4 次式が再現される ✓。3 次因数はさらに組み分けで因数分解できる：$x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$。よって完全な因数分解は $(x-1)(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$ であり、解は $1,\ -\tfrac12,\ \pm\sqrt2$ である。