3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の 3 を片方の因数に置いて、2 つの 2 次式の形を仮定する。 $3$ は素数なので、整数の範囲での因数分解は必ず

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)$

   の形になり、$bd=63$ である。展開すると、係数を合わせる 4 つの条件が得られる：

   $3c+a=24,\quad 3d+ac+b=82,\quad ad+bc=136,\quad bd=63$

2. 2

   63 の約数の組を順に調べる。 $b=7,\ d=9$ として 1 番目と 3 番目の条件を解くと $a=12,\ c=4$ が得られる。すると 2 番目の条件は $27+48+7=82$ ✓、3 番目は $108+28=136$ ✓ となる。4 つすべてが同時に成り立つので

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+12x+7\right)\left(x^{2}+4x+9\right)$

3. 3

   推測した因数分解は、使う前に必ず展開して戻す。 これは形式的な確認作業ではない。もっともらしく見える推測、たとえば $3\left(x^{2}+6x+3\right)\left(x^{2}+6x+7\right)$ は展開すると $3x^{4}+36x^{3}+138x^{2}+180x+63$ となり、最初と最後の係数しか一致しないので誤りである。それを捕まえるのは 中間の 2 つの係数を調べることである。

4. 4

   1 つ目の 2 次式を解く。 $3x^{2}+12x+7=0$ について

   $x=\frac{-12\pm\sqrt{144-84}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{60}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt{15}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{15}}{3}$

   数値では $x\approx-0.70901$ と $x\approx-3.29099$ である。判別式 $60$ が正なので、どちらも実数である。

5. 5

   2 つ目の 2 次式を解く。 $x^{2}+4x+9=0$ の判別式は $16-36=-20<0$ なので

   $x=\frac{-4\pm\sqrt{-20}}{2}=-2\pm i\sqrt5$

6. 6

   4 つの解をまとめて数値で検算する。

   $x=\frac{-6+\sqrt{15}}{3},\ \frac{-6-\sqrt{15}}{3},\ -2+i\sqrt5,\ -2-i\sqrt5$

   もとの 4 次式に数値解法をかけると $-0.70901$、$-3.29099$、$-2\pm 2.23607i$ が返り、完全に一致する ✓（$\sqrt5=2.23607$）。