方程式 8x² = 16x を解け。

Step-by-step solution

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   両辺を $x$ で割りたくなるのをこらえる。 割れば $8x=16$ すなわち $x=2$ が得られるが、それでは解 $x=0$ を失ってしまう。$x$ で割ることは $x\neq0$ を暗黙に仮定しているからである。0 かもしれない量で割るのは決して安全な手ではない。因数分解なら安全である。

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   すべてを片側へ移す。 両辺から $16x$ を引き、右辺を 0 にする——これが「積が 0 なら因数のどれかが 0」という性質を使うために必要な形である：

   $8x^{2}-16x=0$

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   最大公約因数をくくり出す。 2 つの項は $8$ と $x$ を 1 つずつ共有しているので、最大公約因数は $8x$ である：

   $8x(x-2)=0$

   展開して確かめると、$8x\cdot x-8x\cdot2=8x^{2}-16x$ ✓。

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   積が 0 になる条件を使う。 積が 0 になるのは、どれかの因数が 0 のときだけである：

   $8x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2$

   定数 $8$ は決して 0 になれないので解を生まない。解を与えるのは $x$ と $(x-2)$ だけである。

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   両方の解をもとの方程式で検証する。 $x=0$ では左辺 $8(0)=0$、右辺 $16(0)=0$ ✓。$x=2$ では左辺 $8(4)=32$、右辺 $16(2)=32$ ✓。どちらも成り立ち、ここでの二次方程式が確かに 2 個そろった解をもつことが確かめられる。

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   一般的な教訓として押さえる。 定数項をもたない二次式 $ax^{2}+bx=0$ はつねに $x(ax+b)=0$ と因数分解でき、したがって必ず $x=0$ を解の 1 つにもち、もう 1 つは $x=-b/a$ にある。ここでは $-(-16)/8=2$ ✓。