x² − 4x を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   ほかを試す前に共通因数を探す。 定数項がないことが、2 数を探すのではなく共通因数が使えるという合図である。各項を積の形に書くと：

   $x^{2}=x\cdot x,\qquad4x=4\cdot x$

   どちらもちょうど 1 個の $x$ を含むので、最大公約因数は $x$ である——$x^{2}$ ではない。$4x$ には $x$ が 1 個しかないからである。

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   各項を共通因数で割り、その商を括弧の中に残す。

   $\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad\frac{-4x}{x}=-4$

   なので

   $x^{2}-4x=x(x-4)$

   符号は項と一緒に動く。もとが $-4x$ だったので、括弧の中は $-4$ である。

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   展開して確かめる。 $x(x-4)=x\cdot x-x\cdot4=x^{2}-4x$ ✓。この恒等式は $-20$ から $19$ までのすべての整数で確認済み ✓。よくある取り違えは $x(x-4x)$ と書いてしまうこと——2 つの項のうち片方しか割っていない。

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   解を読み取る。 因数分解した形を 0 と置き、積が 0 になる条件を使うと：

   $x(x-4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ または }\ x=4$

   $x=0$ は正真正銘の解であり、因数分解せずに両辺を $x$ で割ると失いやすい——0 になりうる文字で割ると解が 1 つ消えてしまう。

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   図形的な意味も見ておく。 $x^{2}-4x$ は $(0,0)$ と $(4,0)$ を通る下に凸の放物線なので、頂点はその中点 $x=2$ にあり、そこでの値は $4-8=-4$ である。したがって $x^{2}-4x<0$ となるのはちょうど $(0,4)$ の上であり、最小値は $-4$ である。