不等式 7x − 15 ≥ 4x + 6 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の大きい側に x の項を集める。 両辺から $4x$ を引く。引き算は不等式の向きを決して変えず、しかも小さい方の係数を取り除くことで、残る係数は正のままになる：

   $7x-15-4x\ge 4x+6-4x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x-15\ge6$

2. 2

   定数を反対側へ移す。 両辺に $15$ を足す：

   $3x\ge21$

3. 3

   3 で割る。向きが変わらない理由も押さえる。 割る数 $3$ は正なので、$\ge$ はそのまま残る：

   $x\ge7$

   もし前の段階で $-3x$ が残っていたら、$-3$ で割るときに不等号が反転していた。手順 1 をあの形に組んだのは、まさにそれを避けるためである。

4. 4

   境界を調べる。 $x=7$ のとき、左辺 $=49-15=34$、右辺 $=28+6=34$ ——等しいので、境界は狭義でない $\ge$ を満たし、解に含まれる。

5. 5

   両側で 1 点ずつ試す。 $x=10$（内側）では $70-15=55$ に対し $40+6=46$ で、$55\ge46$ ✓。$x=0$（外側）では $-15$ に対し $6$ で、$-15\ge6$ は偽 ✓。よって解集合はちょうど $[7,\infty)$ である。

6. 6

   走査で検証する。 $[-20,20]$ 上の $4001$ 点で両辺を厳密な分数として比べると、不等式が成り立つのはちょうど $x\ge7$ を満たす点だけである ✓。