不等式 6p⁵ - 15p⁴ + 10p³ < p を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを一方の辺に集め、$p$ をくくり出す。

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   1 つの式を 0 と比べる形にすることが、符号表を書けるようにする条件である。

2. 2

   4 次式の有理根を見つける。 有理根定理の候補を試すと、$p=1$ で $6-15+10-1=0$、$p=\tfrac12$ で $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$ となる。したがって $(p-1)$ と $(2p-1)$ が因数である。これらで割ると

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   となる。（最高次の係数は $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓、定数項は $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓。）

3. 3

   因数分解を仕上げ、臨界点を並べる。

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   最後の因数の根は $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$、すなわち $-0.26376$ と $1.26376$ である。小さい順に並べると、5 つの単純根は

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

   となる。

4. 4

   各区間で 1 点ずつ試して符号表を作る。 元の 不等式の $\text{左辺}-\text{右辺}$ に代入すると

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   となる。5 つの根はいずれも単純根なので符号は交互に変わる。さらに最高次の係数 $6>0$ と奇数次 $5$ から、右端では式が正になることが決まり、これで全体の並びが確定する。

5. 5

   解を読み取る。 式が負になるのは 3 つの区間である。

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   注意：符号表を逆の端から組み立てると、ちょうどこの補集合が出てしまう。犯しやすい誤りだが、見つけるのも簡単である。$p=2$ では成り立た ない はずで（$192-240+80=32$ であり $32<2$ は偽）、$p=0.25$ では成り立つ はず だからである（$0.1035<0.25$ ✓）。

6. 6

   端点が除外されることを確認する。 5 つの臨界点ではいずれも両辺が等しくなり、不等号は狭義なので、$\frac{3-\sqrt{21}}{6}$、$0$、$\frac12$、$1$、$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ のどれも解集合には属さない。