(5x − 4)² − 49x² = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つ目の項を 2 乗の形に書き直す。 $49x^2 = (7x)^2$ なので、左辺は 2 乗の差である。

   $(5x-4)^2 - (7x)^2 = 0$

   これに気づけば、$25x^2 - 40x + 16 - 49x^2 = -24x^2 - 40x + 16$ と展開してから全体を割る、という手間を避けられる——因数分解のほうが短く、間違いも少ない。

2. 2

   恒等式 A² − B² = (A − B)(A + B) を当てはめる。 $A = 5x - 4$、$B = 7x$ とすると

   $\bigl((5x-4) - 7x\bigr)\bigl((5x-4) + 7x\bigr) = 0$

   となる。

3. 3

   それぞれの括弧を整理する。

   $(5x - 4) - 7x = -2x - 4, \qquad (5x - 4) + 7x = 12x - 4$

   なので、方程式は

   $(-2x - 4)(12x - 4) = 0$

   となる。

4. 4

   各因数に積が 0 になる性質を使う。

   $-2x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2$

   $12x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

5. 5

   元の方程式で 2 つの解を確かめる。 $x = -2$ のとき $(-10-4)^2 - 49(4) = 196 - 196 = 0 \ \checkmark$。$x = \tfrac13$ のとき $\left(\tfrac53 - 4\right)^2 - 49\cdot\tfrac19 = \tfrac{49}{9} - \tfrac{49}{9} = 0 \ \checkmark$。どちらも厳密に成り立ち、2 次方程式の解は高々 2 つなので、これで解はすべて出そろっている。