(2x + 1)² − (2x − 1)² を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   展開する道ではなく、因数分解する道を選ぶ。 2 乗の差はいつでも因数分解できる：

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   ここでは両方の項がすでに平方の形なので、この公式は 2 次式に見える問題を、短い引き算 2 回と掛け算 1 回に変えてしまう。

2. 2

   2 つの底を決める。

   $A = 2x+1, \qquad B = 2x-1$

   どちらも $x$ の 1 次式で最高次の係数が同じであり、そのおかげで因数の一方が定数につぶれる。

3. 3

   A − B を計算する。 マイナスを 2 つ目のかっこ全体に配る：

   $(2x+1) - (2x-1) = 2x + 1 - 2x + 1 = 2$

   $2x$ の項が打ち消し合う。$-1$ の符号を反転し忘れると $2$ ではなく $0$ になり、答えが消えてしまう。

4. 4

   A + B を計算して掛ける。

   $(2x+1) + (2x-1) = 4x$

   よって

   $(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = 2 \cdot 4x = 8x$

5. 5

   直接展開した結果と照合する。 展開すると

   $(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x$

   となる。$4x^2$ と $+1$ が消えて交差項だけが残る——結果が 1 次式になる構造上の理由がこれである。$x = 5$ ではどちらの形も $121 - 81 = 40 = 8 \cdot 5$ を与える。