(3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の積を和と差の積の公式で展開する。 $(3x-2)(3x+2)$ は $(A-B)(A+B)$ の形をしている：

   $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$

   交差項の $+6x$ と $-6x$ が打ち消し合うので、この部分から 1 次の項は出てこない。

2. 2

   2 つ目の積を展開する。

   $9(x-1)x = 9(x^2 - x) = 9x^2 - 9x$

   $9$ は両方の項に分配する。$x^2$ にだけ掛けてしまうのがよくある取りこぼしである。

3. 3

   引き算して、2 次の項が消えるのを見る。

   $9x^2 - 4 - (9x^2 - 9x) = 9x^2 - 4 - 9x^2 + 9x = 9x - 4$

   どちらの式も同じ $9x^2$ を持っているので、この方程式は 2 次ではなく 1 次である。解が 2 つではなく 1 つしかないのはそのためである。

4. 4

   できた 1 次方程式を解く。

   $9x - 4 = 0 \ \Longrightarrow \ x = \frac{4}{9}$

5. 5

   解を検算する。 $x = \tfrac49$ のとき、1 つ目の積は $\left(\tfrac{12}{9} - 2\right)\left(\tfrac{12}{9} + 2\right) = \left(-\tfrac23\right)\left(\tfrac{10}{3}\right) = -\tfrac{20}{9}$ であり、2 つ目は $9\left(\tfrac49 - 1\right)\tfrac49 = 9 \cdot \left(-\tfrac59\right)\cdot\tfrac49 = -\tfrac{20}{9}$ である。その差は $0 \ \checkmark$。