(2x − 3)² − (x − 1)² = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の差の構造を見抜く。 どちらの項もすでに 1 次式の完全平方なので

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{ただし } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   が使える。展開は不要で、方程式はただちに因数分解できる。

2. 2

   マイナスの分配に注意して 1 つ目の因数を作る。

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   $-1$ を引くと $+1$ になる。この符号の反転を落とすのがよくある誤りで、代わりに $x - 4$ という誤答になってしまう。

3. 3

   2 つ目の因数を作る。

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   よって方程式は

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

   となる。

4. 4

   各 1 次因数を解く。

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   両方を検算する。 $x = 2$ のとき $(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$。$x = \tfrac43$ のとき $\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$。図形的に見れば $(2x-3)^2 = (x-1)^2$ は $|2x-3| = |x-1|$ を意味し、2 つの解はちょうど $2x - 3 = x - 1$ の場合と $2x - 3 = -(x-1)$ の場合にあたる。