不等式 5a² + 4a - 12 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   対応する方程式の解を求める。 係数 $5$、$4$、$-12$ について $5a^2+4a-12=0$ を、$a$ についての解の公式で解く。

   $\Delta=4^2-4(5)(-12)=16+240=256$

2. 2

   平方数であることを活かす。 $\sqrt{256}=16$ なので解は有理数になる。

   $a=\frac{-4\pm 16}{10}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\ \text{または}\ a=\frac{-20}{10}=-2$

   同じことだが $5a^2+4a-12=(5a-6)(a+2)$ とも書ける。

3. 3

   開き方の向きを使う。 最高次の係数 $5$ は正なので放物線は下に凸である。したがって式の値は 2 つの解の 外側で正、その間で負になる。

4. 4

   解を大小に並べて答えを書く。 $-2<\tfrac65$ なので

   $a<-2\quad\text{または}\quad a>\frac{6}{5},\qquad\text{つまり }(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac65,\infty\right)$

   となる。

5. 5

   各区間で 1 つずつ値を試す。 $a=-3$ では $45-12-12=21>0$ $\checkmark$。$a=0$ では $-12>0$ は偽 $\checkmark$。$a=2$ では $20+8-12=16>0$ $\checkmark$。$a=\tfrac65$ では $5\cdot\tfrac{36}{25}+\tfrac{24}{5}-12=\tfrac{36}{5}+\tfrac{24}{5}-12=0$ となり、狭義の不等号によって正しく除外される。