方程式 4x² − x − 2 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を慎重に読み取る。 中央の項は $-x$ なので、$b=-1$ であって $1$ ではない：

   $a=4,\qquad b=-1,\qquad c=-2$

2. 2

   まずたすきがけを試し、うまくいかないことを見る。 積が $ac=-8$、和が $-1$ になる整数の組が必要だが、組は $(1,-8),(2,-4),(4,-2),(8,-1)$ で和は $-7,-2,2,7$ である。どれも $-1$ にならないので整数の範囲では因数分解できず、公式が適した道具である。

3. 3

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-1)^2-4(4)(-2)=1+32=33$

4. 4

   解の公式を適用する。 $-b=-(-1)=+1$ である点に注意する：

   $x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{8}$

   $33=3\cdot 11$ に平方因数がないので $\sqrt{33}$ はすでに最簡であり、$8$ と約分できるものもない。

5. 5

   数値で確かめる。 $\sqrt{33}\approx 5.7446$ なので $x\approx 0.8431$ または $x\approx-0.5931$ である。すると $4(0.8431)^2-0.8431-2\approx 2.843-2.843\approx 0$ $\checkmark$。解と係数の関係でも、解の和は $\tfrac{1}{4}$、積は $-\tfrac{1}{2}$ であり、$-\tfrac{b}{a}$ と $\tfrac{c}{a}$ に一致する。