方程式 21x² + 68x − 85 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   たすきがけ（AC 法）の判定を用意する。 $a=21$、$c=-85$ なので、積が

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   で、和が $b=68$ になる 2 つの整数が必要になる。

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   判定が本当に失敗することを示す。 $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ の約数の組が与える符号付きの和は $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$ である。惜しいのは $85$ と $-21$ で、和は $64$ にしかならず $68$ にはならない——したがって整数による因数分解は存在せず、その組から作った「答え」はどれも誤りになる。

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   判別式を計算する。

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   $108^2=11664$、$109^2=11881$ なので $\Delta$ は平方数ではなく、解が無理数であることが裏づけられる。

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   解の公式を当てはめて簡単にする。 $11764=4\cdot 2941$ であり、$2941=17\cdot 173$ は平方因数を持たないので $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$ である：

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

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   数値で確かめる。 $\sqrt{2941}\approx 54.231$ なので $x\approx 0.9634$ または $x\approx-4.2015$ である。すると $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$。