9x² + 6x + 1 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両端の項が平方かどうかを調べる。 平方である：

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 1=1^2$

   したがって候補となる型は、$a=3x$、$b=1$ とした $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ である。

2. 2

   中央の項を確かめる——ここが決め手になる一手である。 この型は $2ab$ を要求する：

   $2ab=2(3x)(1)=6x$

   これは与えられた中央の項とぴったり一致する。この確認を怠ると、$9x^2+7x+1$ のような、完全平方式でも何でもないものを誤って「因数分解」してしまいかねない。

3. 3

   因数分解を書く。

   $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$

4. 4

   展開して戻して確かめる。

   $(3x+1)^2=9x^2+3x+3x+1=9x^2+6x+1\qquad\checkmark$

   もう一つの確認として、判別式は $6^2-4(9)(1)=0$ であり、判別式がゼロであることはまさに完全平方式であることの代数的な証拠である。