方程式 40x + 30x + 30x + 2x² = 450 を解け。

Step-by-step solution

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   1 次の項をまとめる。 3 つとも $x$ の次数が同じである：

   $40x + 30x + 30x = 100x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 100x = 450$

2. 2

   すべてを片側に集め、共通因数で割る。

   $2x^2 + 100x - 450 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 50x - 225 = 0$

   $2$ で割ると最高次の係数が 1 になり、因数を探すのも公式に入れるのも簡単になる。

3. 3

   整数の範囲で因数分解できるか調べる。 因数分解するには、積が $-225$ で和が $50$ になる 2 つの整数が必要である。$225$ の約数の組は $(1,225), (3,75), (5,45), (9,25), (15,15)$ で、そこから作れる和は $\pm224, \pm72, \pm40, \pm16, 0$ である。どれも $50$ にならない。したがって整数の範囲では因数分解できず、解の公式が必要になる。

4. 4

   解の公式を適用する。 $a = 1$、$b = 50$、$c = -225$ として：

   $b^2 - 4ac = 2500 + 900 = 3400, \qquad \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.309519$

   $x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{34}}{2} = -25 \pm 5\sqrt{34}$

5. 5

   2 つの解の値を求める。

   $x_1 = -25 + 5\sqrt{34} \approx 4.154759, \qquad x_2 = -25 - 5\sqrt{34} \approx -54.154759$

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   検算し、よくある誤答を退ける。 $x_1$ については $2(4.154759)^2 + 100(4.154759) = 34.52404 + 415.47590 = 449.99994$。$x_2$ については $5865.47584 - 5415.47590 = 449.99994$（わずかな不足は $\sqrt{34}$ を丸めたことによるものにすぎない）。解と係数の関係とも合う。和 $= -50$、積 $= -225$ である。よく見かける $x = 5$ または $x = -55$ という答えは誤りである。どちらも $2x^2 + 100x = 550$ となって $450$ にならない。$55 \times (-5) = -275$ であって $-225$ ではないからである。