3600x + 2430000 = x² を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に並べ替える。 $x^2$ が正になる側にすべてを移す。

   $x^2-3600x-2430000=0$

   これで $a=1$、$b=-3600$、$c=-2430000$ となる。$c<0$ なので 2 つの解は異符号になる。

2. 2

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-3600)^2-4(1)(-2430000)=12960000+9720000=22680000$

3. 3

   小数にせず、平方根を簡単にする。 平方因数を抜き出すと

   $22680000=324\cdot 70000=324\cdot 10000\cdot 7$

   なので

   $\sqrt{22680000}=18\cdot 100\cdot\sqrt7=1800\sqrt7$

   となる。（確認：$(1800)^2\cdot 7=3240000\cdot 7=22680000$ ✓。）根号のまま残すことが、最終的な答えを厳密にする鍵である。

4. 4

   解の公式を当てはめる。

   $x=\frac{3600\pm 1800\sqrt7}{2}=1800\pm 900\sqrt7$

   両方の項を半分にする。$3600$ だけを半分にしてしまうのが、きわめてよくあるつまずきである。

5. 5

   数値で評価する。 $\sqrt7=2.6457513$ なので $900\sqrt7=2381.1762$ となり

   $x_1=4181.1762,\qquad x_2=-581.1762$

   となる。手順 1 で予想したとおり異符号である。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 2 解の和は $-b/a=3600$、積は $c/a=-2430000$ になるはずである。実際 $(1800+900\sqrt7)+(1800-900\sqrt7)=3600$ ✓ であり、

   $(1800)^2-(900\sqrt7)^2=3240000-5670000=-2430000$ ✓ となる。