−4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最初の 2 項から最高次の係数をくくり出す。

   $-4.4912\left(x^2+\frac{0.5182}{4.4912}x\right)+30.066=-4.4912\left(x^2+0.115381x\right)+30.066$

   かっこの中に入れるのは $x^2$ と $x$ の項だけで、定数は外に残す。こうしておくと計算の管理がずれない。

2. 2

   かっこの中で平方完成する。 1 次の係数の半分は $0.05769059$ で、その 2 乗は $0.00332820$ である：

   $x^2+0.115381x=\left(x+0.05769059\right)^2-0.00332820$

3. 3

   最高次の係数を分配して戻す。

   $-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+4.4912(0.00332820)+30.066=-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+30.08095$

   これが標準形である。放物線の頂点は $\left(-0.05769,\,30.08095\right)$ にある。最大値が正で、放物線が上に凸なので、実数解が 2 つ存在するはずである。

4. 4

   標準形を $x$ について解く。

   $\left(x+0.05769059\right)^2=\frac{30.08095}{4.4912}=6.697753\;\Longrightarrow\;x+0.05769059=\pm 2.588002$

   $x=-0.05769059\pm 2.588002$

5. 5

   値を出して確かめる。

   $x_1=-2.64569,\qquad x_2=2.53031$

   解と係数の関係が両方を裏づける。和は $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.5182}{-4.4912}=-0.11538$ になるはずで、$-2.64569+2.53031=-0.11538\;\checkmark$。積は $\tfrac{c}{a}=\tfrac{30.066}{-4.4912}=-6.69442$ になるはずで、$(-2.64569)(2.53031)=-6.69442\;\checkmark$。2 つの解は頂点の横座標 $-0.05769$ について対称であり、標準形が予告したとおりである。