平方完成計算機

平方完成とは、二次式 $ax^2 + bx + c$ を次の形に書き換える代数的な手法です。

$a(x - h)^2 + k$

ここで $(h, k)$ は放物線の頂点です。

なぜ重要か:

• 放物線の頂点（最小・最大点）を一目で明らかにします。
• 解の公式を使わずに任意の二次方程式を解けます。
• 解の公式を導出する基礎となる手法です。
• 微積分で $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ を計算するのに使います（arctan に帰着）。
• ガウス積分や物理学の多くの話題を理解するのに不可欠です。

これを成り立たせる中心的な恒等式:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

ケース1: 最高次の係数が1

$x^2 + bx + c$ の場合:

1. $b$ の半分を取り、2乗します: $(b/2)^2$。
2. この量を加えて引きます: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$。
3. 完全平方をまとめます: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$。

例: $x^2 + 6x + 5$

• 6 の半分は 3。2乗すると 9。
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

頂点形式: $(x + 3)^2 - 4$、頂点は $(-3, -4)$。

ケース2: 最高次の係数が1でない

$ax^2 + bx + c$、$a \neq 1$ の場合:

1. 最初の2項から $a$ を因数として括り出します: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$。
2. 括弧の中で平方完成します: $b/a$ の半分は $b/(2a)$、2乗すると $b^2/(4a^2)$。
3. 中で加えて引きます: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$。
4. 簡約します: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$。

加えた項を「打ち消す」とき、中身が $a$ 倍されているので $a$ を掛けることに注意してください。

二次方程式を解く

$ax^2 + bx + c = 0$ の場合:

1. 平方完成して $a(x - h)^2 + k = 0$ を得ます。
2. 2乗の項を孤立させます: $(x - h)^2 = -k/a$。
3. 平方根をとります: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$。
4. 解きます: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$。

これは本質的に、解の公式が1つのコンパクトな式で行っていることです。

• バランスを取り忘れる: $(b/2)^2$ を加えたら、それを引かなければなりません。さもないと式を変えてしまいます。
• 係数の扱いの誤り: $a \neq 1$ の場合、平方完成する前に最初の2項から $a$ を括り出し、展開して戻すときに補正に $a$ を掛けなければなりません。
• $\pm$ の符号の誤り: 平方根をとった後は両方の分岐を残さなければなりません。$\pm$ を落とすと解を1つ失います。
• $b$ の半分 vs $b/2a$: 最高次の係数が1のときは $b$ の半分を取ります。そうでないときは先に括り出し、新しい係数の半分を取ります。
• 定数の簡約忘れ: 平方完成の後、残った定数を1つの $k$ にまとめます。