−0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数がどれほど小さいかに注目する。 $a=-0.0164$、$b=0.3655$、$c=25.151$ であり、2 次の項が定数項と同程度になるのは $x$ が 10 の桁になってからである：

   $|a|x^2\approx 25\ \Longrightarrow\ x\approx\sqrt{\tfrac{25}{0.0164}}\approx 39$

   つまり解は絶対値の大きな数になるはずである。何かを計算し始める前にこの見当をつけておくと役に立つ。

2. 2

   判別式を計算する。

   $\Delta=0.3655^2-4(-0.0164)(25.151)=0.133590+1.649906=1.783496$

   $\sqrt{\Delta}=1.335476$

   ここでは珍しく $b^2$ と $-4ac$ が同程度の大きさである。$a$ も $b$ も小さいからである。

3. 3

   解の公式を当てはめる。

   $x=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{2(-0.0164)}=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{-0.0328}$

   ごく小さい $-0.0328$ で割ることが、ほどほどの大きさの分子を大きな解へと拡大している。

4. 4

   2 つの解を計算する。

   $x_1=\frac{-0.3655+1.335476}{-0.0328}=-29.5724,\qquad x_2=\frac{-0.3655-1.335476}{-0.0328}=51.8590$

   頂点は $x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{0.3655}{0.0328}=11.143$ にあり、ちょうど 2 解の中点である。そこでの最大値は $y\approx 27.19$ である。

5. 5

   解と係数の関係で確かめる。 和は $-\tfrac{b}{a}=\tfrac{0.3655}{0.0164}=22.2866$ でなければならず、実際 $-29.5724+51.8590=22.2866\;\checkmark$。積は $\tfrac{c}{a}=\tfrac{25.151}{-0.0164}=-1533.60$ でなければならず、実際 $(-29.5724)(51.8590)=-1533.60\;\checkmark$。小さい数で割ると分子の丸め誤差が拡大されるので、ここではこの 2 つの確認がとりわけ役に立つ。