方程式 3x² + 5x − 6 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   係数を読み取る。 標準形 $ax^{2}+bx+c=0$ と見比べて：

   $a=3,\qquad b=5,\qquad c=-6$

   $c=-6$ はマイナス符号を保ったままである点に注意する。これを正しく判別式に持ち込めるかがこの問題の要である。

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   まず判別式を計算する。

   $\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(3)(-6)=25+72=97$

   負が 2 つ重なるので $-4ac$ の項は正の $72$ になる。$\Delta=97>0$ なので相異なる実数解が 2 つあるが、$97$ は素数なので平方数ではなく、解は無理数であり、$3x^{2}+5x-6$ を整数の範囲で因数分解することはできない。

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   解の公式に代入する。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{2(3)}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{6}$

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   これ以上簡単にならないことを確かめる。 $97$ は平方因数を持たないので $\sqrt{97}$ は簡約できない。また $-5$、$1$、$6$ に共通因数はないので、この分数はこのままである。2 つの解は

   $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\approx0.808143,\qquad x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\approx-2.474810$

   である。

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   解と係数の関係と代入で検証する。 解の和は $-b/a=-\tfrac53$ になるはずである：$\dfrac{-5+\sqrt{97}}{6}+\dfrac{-5-\sqrt{97}}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac53$ ✓。積は $c/a=-2$ になるはずである：$\dfrac{25-97}{36}=\dfrac{-72}{36}=-2$ ✓。どちらの解を $3x^{2}+5x-6$ に代入しても、残差は $10^{-11}$ 未満である ✓。