方程式 3x² − 48 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   $x$ の項がないので、解の公式は要らないと気づく。 $ax^{2}+c=0$ の形の方程式は、$x^{2}$ を単独にして平方根をとれば解ける。公式に代入するよりずっと速い。まず両辺に $48$ を足す：

   $3x^{2}=48$

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   最高次の係数で割る。 平方根をとる前に両辺を $3$ で割る。$3x^{2}$ のまま根をとると、扱いにくい $\sqrt{3}$ が残ってしまう：

   $x^{2}=16$

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   平方根の性質を両方の符号で使う。 $k>0$ のとき $x^{2}=k$ ならば $x=\pm\sqrt{k}$ であり、解は2 つある。2 乗すると符号の情報が失われるからである：

   $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$

   $x=4$ とだけ書くと答えが半分になる。$\sqrt{16}$ という記号だけでは正の（非負の）根 $4$ を意味するので、$\pm$ は自分の手で書き加える必要がある。

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   2 つの解をもとの方程式で検証する。 $x=4$ のとき $3(16)-48=48-48=0$ ✓。$x=-4$ のとき $3(-4)^{2}-48=3(16)-48=0$ ✓。$(-4)^{2}=+16$ である点に注意する。負の数の 2 乗は正になり、まさにそれゆえ負の根も成り立つのである。

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   因数分解でも突き合わせる。 $3x^{2}-48=3(x^{2}-16)=3(x-4)(x+4)$ であり、積が 0 になるのは因数のどれかが 0 のときだけなので、$x=4$ または $x=-4$ となる ✓。解と係数の関係とも合う。解の和は $0=-b/a$（$x$ の項がない）、積は $-48/3=-16$ である ✓。