4x² − 9 を因数分解し、続いて 4x² − 9 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の項が平方数であることを確かめる。 これが平方の差の公式を使うための前提である：

   $4x^{2}=(2x)^{2},\qquad9=3^{2}$

   係数 $4$ 自体が平方数なので、$4x^{2}$ の平方根は $4x$ ではなく $2x$ である——平方根をとる代わりに係数を半分にしてしまうのがよくある間違いである。

2. 2

   公式を当てはめる。 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ で $a=2x$、$b=3$ とすると

   $4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)$

   となる。合わせるべき 中間の項がない のは、交差項 $-6x$ と $+6x$ が打ち消し合うからである——この公式が 2 項の式に見えるのは、まさにそのためである。

3. 3

   展開して検算する。 $(2x-3)(2x+3)=4x^{2}+6x-6x-9=4x^{2}-9$ ✓、$40$ 個の整数値で確認済み ✓。なお平方の 和 である $4x^{2}+9$ は実数の範囲では因数分解 できない——マイナス符号が本質的である。

4. 4

   積が 0 になる条件で方程式を解く。

   $(2x-3)(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-3=0\ \text{ または }\ 2x+3=0$

   $x=\frac{3}{2}\qquad\text{または}\qquad x=-\frac{3}{2}$

5. 5

   2 つの解を確かめる。 $x=\tfrac32$ では $4\cdot\tfrac94-9=9-9=0$ ✓。$x=-\tfrac32$ では $4\cdot\tfrac94-9=0$ ✓（2 乗すると符号が消える）。平方根をとる道筋でも同じ答えになる：$4x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\tfrac94\Rightarrow x=\pm\tfrac32$ ✓。