x⁴ − 16 = 0 のすべての解を、実数解と複素数解の両方について求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方の差であることを見抜く。 見方を変えれば、どちらの項も完全平方である：

   $x^{4}=(x^{2})^{2},\qquad 16=4^{2},$

   したがって恒等式 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ が $a=x^{2}$、$b=4$ として使える：

   $x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).$

   4 乗根を直接取るより因数分解のほうがよいのは、複素数解も含めてすべての解が表に出るからである。

2. 2

   できるところをもう一度因数分解する。 1 つ目の括弧はまた平方の差である：

   $x^{2}-4=(x-2)(x+2),$

   一方 $x^{2}+4$ は平方の和であり、実数の範囲では因数分解できない。よって実数の範囲での完全な因数分解は

   $x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).$

3. 3

   1 次の因子に「積が 0」の性質を使う。 積が 0 になるのは、いずれか 1 つの因子が 0 になるとき、そのときに限る：

   $x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.$

   これが実数解のすべてであり、2 個しかない。$x^{4}=16$ の実数解はちょうど 2 個、$\pm\sqrt[4]{16}=\pm 2$ なので、これは予想どおりである。

4. 4

   残った 2 次式を複素数の範囲で扱う。 $x^{2}+4=0$ とおくと $x^{2}=-4$ となり、実数解はないが虚数解が 2 個ある：

   $x=\pm 2i.$

   したがって $\mathbb{C}$ 上での完全な因数分解は $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$ であり、$4$ 次の多項式は代数学の基本定理が要求するとおり、ちょうど $4$ 個の解をもつ。

5. 5

   各解を検算する。 $2^{4}=16$ ✓、$(-2)^{4}=16$ ✓。虚数の組については $(2i)^{4}=2^{4}i^{4}=16\cdot 1=16$ ✓、同様に $(-2i)^{4}=16$ ✓。4 個の解はすべて複素平面上の半径 $2$ の円周上にあり、$90^{\circ}$ ずつ等間隔に並ぶ。正の実数の 4 乗根を表す標準的な図である。