2x³ − x² − 5x − 2 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず組分けを試し、うまくいかないことを確かめる。 2 項ずつ組にすると $\left(2x^3-x^2\right)+(-5x-2)=x^2(2x-1)-(5x+2)$ となる。2 つの括弧 $(2x-1)$ と $(5x+2)$ は異なるので、ここでは組分けが使えない——これが有理根定理に切り替える合図である。

2. 2

   有理数解の候補を並べる。 有理数解 $\tfrac{p}{q}$ は $p\mid2$（定数項）と $q\mid2$（最高次の係数）を満たす必要があるので、候補は

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$

   である。半整数が現れるのはまさに最高次の係数が $1$ ではなく $2$ だからであり、この一手はしばしば飛ばされる。

3. 3

   候補を試す。

   $f(2)=2(8)-4-10-2=16-16=0\ \checkmark$

   よって $x=2$ は解であり、$(x-2)$ は因数である。

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   組立除法で (x - 2) で割る。 係数 $2,\ -1,\ -5,\ -2$ に対して解 $2$ を使う：

   $2\ \to\ -1+4=3\ \to\ -5+6=1\ \to\ -2+2=0$

   余りはゼロ ✓、商は $2x^2+3x+1$ である：

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)\left(2x^2+3x+1\right)$

5. 5

   AC 法で 2 次式を因数分解する。 積が $2\times1=2$、和が $3$ となる 2 数が必要で、それは $1$ と $2$ である。分割して組分けすると

   $2x^2+2x+x+1=2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1)$

6. 6

   完全な因数分解と解を書く。

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)(2x+1)(x+1)$

   解は $x=2$、$x=-\tfrac12$、$x=-1$ である——$-\tfrac12$ は分数の候補の 1 つであり、だからこそ候補に挙げておく必要があった。

7. 7

   検算する。 $-30$ から $29$ までのすべての整数で、もとの式と 3 つの積を比べると完全に一致する ✓。解と係数の関係も合う。解の和は $2-\tfrac12-1=\tfrac12=-b/a$ ✓、積は $2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-1)=1=-d/a$ ✓。