不等式 3^x > 500001x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つの関数の符号の問題に読み替える。

   $f(x)=3^x-500001x$

   と定義し、$f(x)>0$ となる範囲を探す。2 つのグラフを目で見比べるよりこのほうがよい。$f$ には厳密に押さえられる構造があるからである。

2. 2

   $f$ が凸であること、したがって零点が高々 2 個であることを示す。

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   狭義凸な関数は減少してから増加するので、0 を横切るのは高々 2 回である。最小値は $f'=0$ となる点にあり

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

   である。

3. 3

   左側はただちに片づく。 $x\le 0$ では左辺の $3^x$ は正である一方 $500001x\le 0$ なので、不等式は自動的に成り立つ。$x=0$ では $1>0$ $\checkmark$ となる。したがって 1 つ目の零点は $0$ のわずかに右にあるはずである。

4. 4

   小さいほうの零点を求める。 $0$ の近くでは $3^x\approx 1$ なので、交点は $x\approx\tfrac{1}{500001}$ に近い。$\left[10^{-12},0.5\right]$ 上で $f$ を二分法にかけると

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   が得られ、その左側で $f$ は正、右側で負になる。

5. 5

   大きいほうの零点を挟み込んで求める。 $f(12)=531441-6000012<0$、$f(16)=43046721-8000016>0$ なので、2 つ目の交点は $(12,16)$ の中にある。二分法により

   $x_2\approx 14.3704368$

   が得られる。確認すると $3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$、$500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$ となり、6 桁まで一致する $\checkmark$。（$14.546$ のような値は零点では ない。そこでは $3^x\approx 8.714\times 10^6$ に対し $7.273\times 10^6$ であり、$1.44\times 10^6$ ほどの開きがある。）

6. 6

   解集合を組み立てる。 $f>0$ となるのは 2 つの零点の外側である。

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{または}\quad x>14.3704368$

   真ん中も抜き取りで確かめておく。$x=1$ では $3<500001$ なので、不等式は正しく成り立たない $\checkmark$。