6^x = x^18 の実数解をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を整理する。 $x>0$ では両辺とも正である。$x<0$ でも指数が偶数なので右辺の $x^{18}$ は正のままであり、$6^x>0$ でもあるから負の $x$ も許される。$x=0$ では $1=0$ となって偽なので、$x=0$ は除外される。

2. 2

   正の場合を、増加してから減少する 1 つの関数に帰着させる。 $x>0$ で $6^x=x^{18}$ の対数をとると

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   となる。関数 $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ は $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$ なので $(0,e]$ で増加し $[e,\infty)$ で減少し、最大値は $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$ である。$0<0.0995<\tfrac1e$ なので、水平線はこの曲線と ちょうど 2 回 交わる。

3. 3

   大きいほうの厳密解を見つける。 $x=36$ を試す。$36=6^2$ なので

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   となり、$x=36$ は方程式を 厳密に 満たす。$g$ でも確認できる。$\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$。

4. 4

   小さいほうの正の解を数値的に求める。 $g(1)=0$ であり $g$ は $g(e)$ まで増加するので、この解は $(1,e)$ の中にある。$g(x)-0.0995422$ を二分法にかけると

   $x\approx 1.1176815$

   が得られる。確認すると $6^{1.1176815}\approx 7.4084$、$1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$。

5. 5

   負の解がちょうど 1 つであることを示す。 $t>0$ として $x=-t$ とおくと方程式は $6^{-t}=t^{18}$、すなわち $h(t)=6^{t}t^{18}=1$ になる。

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   なので $h$ は $0$ から $\infty$ まで狭義単調に増加し、$h(t)=1$ の解はちょうど 1 つである。二分法で $t\approx 0.9131150$、すなわち $x\approx-0.9131150$ が得られ、そこでは $6^{x}\approx 0.194741$、$x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$。

6. 6

   3 つの解をまとめる。 負が 1 つ、正が 2 つで、上の単調性の議論からこれ以外に解はない。

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$