4ˣ = 80 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $80$ が $4$ の累乗かどうかを確かめる。 累乗は $4^1=4$、$4^2=16$、$4^3=64$、$4^4=256$ である。$64<80<256$ なので指数は整数ではなく、$3$ と $4$ の間に厳密に入る。最終的な答えの範囲として、いま押さえておく価値がある。

2. 2

   両辺の対数をとる。 底は何でもよい。対数は指数を係数に変える：

   $\ln\left(4^x\right)=\ln 80\quad\Longrightarrow\quad x\ln 4=\ln 80$

3. 3

   $x$ について解き、厳密な形に名前をつける。

   $x=\frac{\ln 80}{\ln 4}=\log_4 80$

   これは底の変換公式 $\log_b a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$ を逆向きに読んだものである。

4. 4

   数値を求める。 $\ln 80\approx 4.3820266$、$\ln 4\approx 1.3862944$ として：

   $x\approx\frac{4.3820266}{1.3862944}\approx 3.16096$

5. 5

   範囲と代入で確かめる。 $3.161$ という値は確かに $3$ と $4$ の間にある $\checkmark$。また $4^{3.16096}\approx 80.000$ $\checkmark$。厳密な別の形もある。$80=16\times 5$ で $16=4^2$ なので $x=2+\log_4 5$ となり、$\log_4 5\approx 1.16096$ である $\checkmark$。