不等式 2x + 1 > x + 7 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   変数を左辺に集める。 両辺から同じ式を引く操作は不等式でもつねに安全で、向きに影響しない。$x$ を引くと

   $2x-x+1>7\qquad\Longrightarrow\qquad x+1>7$

   となる。$2x-x=x$ の係数が 正 なので、あとで負の数による割り算が必要になることもない。

2. 2

   $x$ を孤立させる。 両辺から $1$ を引くと

   $x>6$

   となる。

3. 3

   解集合を述べる。 区間の記法では $(6,\infty)$ であり、不等式が狭義なので $6$ は 含まれない。

4. 4

   境界の両側で検証する。 $x=7$ では左辺 $15$、右辺 $14$ で $15>14$ ✓。$x=6$ では左辺 $13$、右辺 $13$ で等しく、狭義の不等式は成り立たないので端点が外れているのは正しい。$x=0$ では左辺 $1$、右辺 $7$ で $1>7$ ✗ ✓（正しく解集合の外）。元の不等式と $x>6$ を厳密な有理点 $100$ 個で比べても、すべて一致する ✓。

5. 5

   2 本の直線として見る。 $y=2x+1$ の傾きは $2$、$y=x+7$ の傾きは $1$ である。急なほうの直線が交点 $x=6$ で緩やかなほうを追い越し、以降はずっと上に来る。傾きが異なれば交点はちょうど 1 つに定まるので、答えは 1 本の半直線でなければならない。