不等式 2x + 1 > x + 6 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   変数の項を集める。 両辺から $x$ を引く——不等号の向きを決して変えない安全な操作である。

   $2x-x+1>6\qquad\Longrightarrow\qquad x+1>6$

2. 2

   $x$ を孤立させる。 両辺から $1$ を引くと

   $x>5$

   となる。割り算をいっさい使っていないので、符号が反転する危険は最初からない。

3. 3

   解集合を述べる。 区間の記法では $(5,\infty)$ であり、元の不等式が狭義（$\ge$ ではなく $>$）なので $5$ は 含まれない。

4. 4

   境界と両側の点を確かめる。 $x=5$ では左辺 $11$、右辺 $11$ で等しく、狭義の不等式は成り立たないので端点が開いているのは正しい。$x=6$ では左辺 $13$、右辺 $12$ で $13>12$ ✓。$x=4$ では左辺 $9$、右辺 $10$ で ✗。元の不等式と $x>5$ は、厳密な有理点 $100$ 個で一致する ✓。

5. 5

   兄弟問題と見比べる。 右辺を $x+7$ にした同型の不等式の解は $x>6$ になる。大きいほうの辺の定数を増やすと、交点はちょうどその分だけ右へずれる。一般に $2x+1>x+c$ の解は $x>c-1$ である。