不等式 2x − 5/4 < 3 − x/3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最小公倍数を使って分数を払う。 分母は $4$ と $3$ なので最小公倍数は $12$ である。不等式に 正の 数を掛けても向きは保たれるので、この操作は安全である。

   $12\left(2x-\frac54\right)<12\left(3-\frac{x}{3}\right)$

2. 2

   両辺を展開する。 分数でない項も含め、すべての項に掛けなければならない。

   $24x-15<36-4x$

   1 つずつ確かめると $12\cdot2x=24x$、$12\cdot\tfrac54=15$、$12\cdot3=36$、$12\cdot\tfrac{x}{3}=4x$ ✓。

3. 3

   x の項を左辺に集める。 両辺に $4x$ を足す——引くのではなく足すほうを選べば係数は正のままで、あとで符号を反転させずに済む。

   $28x-15<36$

4. 4

   定数を右辺に集める。 $15$ を足すと

   $28x<51$

5. 5

   28 で割る。 $28>0$ なので向きは変わらない。

   $x<\frac{51}{28}$

   この分数は約分できない。$51=3\times17$、$28=2^2\times7$ で共通因数がないからである。小数にすると $\tfrac{51}{28}\approx1.8214$ である。

6. 6

   境界と、その両側の点を 1 つずつ確かめる。 $x=\tfrac{51}{28}$ では両辺がちょうど等しい ✓。$x=0$（内側）では $-\tfrac54=-1.25<3$ ✓。$x=2$（外側）では $4-1.25=2.75$ に対し $3-\tfrac23=2.333$ であり、$2.75<2.333$ は成り立たない ✓。厳密な有理点を $1000$ 個走査しても、解集合はちょうど $\left(-\infty,\tfrac{51}{28}\right)$ であることが確かめられる ✓。