不等式 25 − 2(n − 2) ≥ −8n + 6 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   −2 をかっこに配る。 マイナスは $2$ に付いているので、中の両方の項が変わる：$-2\cdot n=-2n$、$-2\cdot(-2)=+4$ である。2 つ目の項での符号の反転を落とすのが、ここでの定番の誤りである。

   $25-2n+4\ge -8n+6$

2. 2

   左辺の定数をまとめる。 $25+4=29$ なので、

   $29-2n\ge -8n+6$

   となる。

3. 3

   8n を足して n の項を一方の辺に集める。 両辺に同じ量を足しても不等号の向きは決して変わらない。$2n$ を引くのではなく $8n$ を足せば係数が正のままになり、あとでの向きの反転を避けられる：

   $29+6n\ge 6$

4. 4

   n の項を単独にする。 両辺から $29$ を引く：

   $6n\ge -23$

5. 5

   6 で割り、向きが保たれる理由を述べる。 $6>0$ なので、割っても $\ge$ はそのままである：

   $n\ge -\frac{23}{6}$

   $23$ は素数で $6$ を割り切らないので、この分数は約分できない。小数で書けば $-\tfrac{23}{6}\approx-3.8\overline{3}$ である。

6. 6

   境界と内部の 1 点で確かめる。 $n=-\tfrac{23}{6}$ では左辺 $=25-2\left(-\tfrac{23}{6}-2\right)=25+\tfrac{70}{6}=\tfrac{220}{6}$、右辺 $=-8\left(-\tfrac{23}{6}\right)+6=\tfrac{184}{6}+\tfrac{36}{6}=\tfrac{220}{6}$ で等しく、境界で期待されるとおりである ✓。$n=0$（解集合の内部）では $25-2(-2)=29\ge 6$ ✓ となり、不等号は確かに述べたとおりの向きを指している。