(x + 2y)² − (x − 2y)² を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   2 乗の差の形だと見抜く。 マイナスで隔てられた 2 つの完全平方は、いつでも

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   と因数分解できる。変数が 2 つあるときは、展開するよりこちらの方がはるかに安全である。展開では $x^2$ や $4y^2$ の項が、符号を落とす機会をいくらでも与えてしまう。

2. 2

   底に名前を付ける。

   $A = x + 2y, \qquad B = x - 2y$

   2 つの底は $2y$ の項の符号だけが違うので、下で得る因数の一方は $y$ だけを、もう一方は $x$ だけを含むことになる。

3. 3

   A − B を計算する。

   $(x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$

   $-2y$ を引くと $+2y$ になるので、$y$ の項は打ち消し合うのではなく 2 倍になる。

4. 4

   A + B を計算し、2 つの因数を掛ける。

   $(x + 2y) + (x - 2y) = 2x$

   $(x+2y)^2 - (x-2y)^2 = 4y \cdot 2x = 8xy$

5. 5

   展開と数値の抜き取りで検証する。 そのまま展開すると：

   $(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$

   交差項だけが生き残る。$x = 3$、$y = 2$ とすると $(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$ であり、$8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$ と一致する。