因数分解を使って (2x - 1)(2x - 1) - x × x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返しの積を 2 乗に書き直す。 同じ因数が 2 つ並んでいるのも、$x$ が 2 つ並んでいるのも、要するに 2 乗を長く書いただけである。

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   この 2 乗に気づくことが本問のすべてである。展開して $3x^2 - 4x + 1$ にしても解けるが、それでは構造を捨てることになる。

2. 2

   2 乗の差の型に当てはめる。 公式は

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   であり、$a = 2x - 1$、$b = x$ とすればよい。$a$ 自身が 2 項式であってもかまわない。この型が要求するのは、各項が完全平方であることだけである。

3. 3

   型を適用し、それぞれの括弧を整理する。

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   展開し直すと $3x^2 - 4x + 1$ になり、元の式を展開したものと一致する。

4. 4

   積が 0 になる条件を使う。 積が 0 になるのは、どちらかの因数が 0 のときに限る。

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   元の形で 2 つの解を検算する。 $x = 1$ のとき $(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$。$x = \tfrac13$ のとき $\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$。どちらも成り立つので、解の集合は $\left\{1, \tfrac13\right\}$ である。