20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0 を解け。3 つの解を厳密な形と小数の両方で示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   小数を払って約分する。 $10$ を掛けると $202x^{3}-808x^{2}+606=0$ となり、係数がすべて偶数なので $2$ で割る：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=0.$

   $x$ の項がないことに注意する。その係数は $0$ であり、後で割り算をするときに忘れてはならない。ここから先を整数で進めれば、有理根の探索が近似ではなく厳密になる。

2. 2

   有理根を見つける。 係数はどれも $101$ の倍数で、しかも示唆的なパターンをなしている：$101$、$-404=-4\cdot101$、$303=3\cdot101$。$x=1$ を試すと

   $101-404+303=0 ✓,$

   なので $x=1$ は解であり、$(x-1)$ がこの 3 次式を割り切る。これが先に約分しておいたご褒美である。検算は暗算 1 行で済む。

3. 3

   $(x-1)$ で割り出す。 係数 $101,\;-404,\;0,\;303$ に対して根 $1$ で組立除法を行うと、$101,\;-303,\;-303$ と余り $0$ が得られる：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=(x-1)\left(101x^{2}-303x-303\right).$

   抜けている $x$ の項は、割り算の行に $0$ として入れなければならない。省くと以降の係数がすべてずれ、結果が壊れる。

4. 4

   2 次方程式を解き、根号を簡単にする。 $101x^{2}-303x-303=0$ について、

   $\Delta=303^{2}+4(101)(303)=91809+122412=214221.$

   これは実際に簡単になる：$214221=101^{2}\times 21$ なので $\sqrt{214221}=101\sqrt{21}$ である。したがって

   $x=\frac{303\pm101\sqrt{21}}{202}=\frac{101\left(3\pm\sqrt{21}\right)}{202}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.$

   共通因数 $101$ は完全に約分される——3 次式全体が、単純な式の $101$ 倍だったのである。

5. 5

   小数で示して検算する。 $\sqrt{21}\approx4.58258$ より、

   $x=1,\qquad x\approx 3.791288,\qquad x\approx -0.791288.$

   それぞれを $20.2x^{3}-80.8x^{2}+60.6$ に代入すると $10^{-13}$ 以内で $0$ になる ✓。解と係数の関係も合う：和は $1+3=4=\tfrac{404}{101}$ ✓、積は $1\cdot\frac{9-21}{4}=-3=-\tfrac{303}{101}$ ✓。