4m² − 4m − 5 を因数分解せよ。整数の範囲で因数分解できないならそれを示せ。

Step-by-step solution

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   整数の組を試して、失敗を記録する。 $4m^2=(2m)(2m)$ で定数項が $-5$ なので、整数での可能性は $(2m+1)(2m-5)$ と $(2m-1)(2m+5)$ しかない。展開すると

   $(2m+1)(2m-5)=4m^2-8m-5,\qquad(2m-1)(2m+5)=4m^2+8m-5$

   となる。どちらも $\pm 8m$ になり $-4m$ にはならないので、整数の範囲での因数分解は存在しない。

2. 2

   判別式で裏を取る。 $a=4$、$b=-4$、$c=-5$ なので

   $\Delta=16+80=96$

   となる。$96$ は平方数ではない（$9^2=81$、$10^2=100$）ので解は無理数であり、整数の範囲での因数分解ははじめから不可能だった。

3. 3

   解を求める。 $\sqrt{96}=4\sqrt6$ なので

   $m=\frac{4\pm 4\sqrt6}{8}=\frac{1\pm\sqrt6}{2}$

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   実数の範囲での因数分解を書く。 解が $r_1,r_2$ のとき 2 次式は $a(m-r_1)(m-r_2)$ に等しい。最高次の係数 $4$ は必ず持ち込む：

   $4m^2-4m-5=4\left(m-\frac{1+\sqrt6}{2}\right)\left(m-\frac{1-\sqrt6}{2}\right)$

5. 5

   解の形を展開して確かめる。 解の積は $\tfrac{1-6}{4}=-\tfrac54=\tfrac{c}{a}$、解の和は $1=-\tfrac{b}{a}$ である $\checkmark$。数値では解は $\approx 1.7247$ と $\approx-0.7247$ であり、前者を代入すると $4(2.9746)-6.899-5\approx 0$ $\checkmark$。