方程式 4x³ + 8x³ + 4x² − 16x = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に同類項をまとめる。 はじめの 2 項はどちらも 3 次である：

   $4x^3 + 8x^3 = 12x^3 \quad\Longrightarrow\quad 12x^3 + 4x^2 - 16x = 0$

   この手順を飛ばして 4 項のまま組分けで因数分解しようとしても、どこにも行き着かない。

2. 2

   最大公約因数をくくり出す。 係数 $12, 4, 16$ は $4$ を共通因数にもち、どの項にも $x$ が少なくとも 1 つある：

   $4x\left(3x^2 + x - 4\right) = 0$

   これで $x = 0$ が解であることが表に出て、残りの問題は 2 次に落ちる。

3. 3

   中央の項を分けて 2 次式を因数分解する。 $3x^2 + x - 4$ については、積が $3 \times (-4) = -12$、和が $+1$ になる 2 数が必要で、それは $4$ と $-3$ である。

   $3x^2 + 4x - 3x - 4 = x(3x+4) - 1(3x+4) = (x-1)(3x+4)$

4. 4

   それぞれの因数を 0 とおく。

   $4x = 0 \Rightarrow x = 0, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \qquad 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$

5. 5

   それぞれの解をもとの方程式で確かめる。 $f(0) = 0$。$f(1) = 12 + 4 - 16 = 0$。$f(-\tfrac43) = 12\left(-\tfrac{64}{27}\right) + 4\left(\tfrac{16}{9}\right) + \tfrac{64}{3} = -\tfrac{256}{9} + \tfrac{64}{9} + \tfrac{192}{9} = 0$。3 つとも厳密に成り立つ。