方程式 (1 + x) の 10 乗から 10.7347x を引いたものが 1 に等しい、を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを一方の辺に寄せ、ただで手に入る解を見つける。

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   と定める。すると $f(0)=1-0-1=0$ なので、$x=0$ は正確な解である。数値計算はいらない。この形の方程式（成長率を期間数だけ累乗し、そこから一次の支払いを引いたもの）には必ず自明な解があり、興味があるのはもう 1 つの交点のほうである。

2. 2

   微分して形を調べる。

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   $f''>0$ なので $f$ は $(-1,\infty)$ 上で狭義凸であり、0 と交わるのはたかだか 2 回である。また $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$ であり、曲線は原点を通り抜けるときまだ下降している。

3. 3

   ただ 1 つの最小点を求める。 $f'(x)=0$ を解く：

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   そこでの値は $f(0.0079085)=-0.0029357$ で、確かに 0 を下回っている。（この最小値としてよく引かれる $-0.000291$ という数字は、桁が 1 つ小さすぎる。）

4. 4

   解の個数を数える。 $(-1,\,0.0079085)$ では、関数は $f(-1^{+})=9.7347$ から $-0.0029357$ まで減少するので、交点はちょうど 1 つ、それが $x=0$ である。$(0.0079085,\infty)$ では $-0.0029357$ から $+\infty$ まで増加するので、もう 1 つだけ交点がある。したがって実数解はちょうど 2 個で、負のものはない（$f(-0.01)=+0.0117$ が $0$ の左側の符号を裏づけている）。

5. 5

   2 つめの解をはさみこんで精度を上げる。 $f(0.015)=-0.00048$、$f(0.016)=+0.00027$ なので、解はその間にある。二分法かニュートン法を使うと

   $x=0.01565489$

   が小数第 8 位まで得られる。$0.015845$ ではない。そこでは $f=+1.5\times 10^{-4}$ で、まだはっきり正である。

6. 6

   直接代入して確かめる。 $(1.0156549)^{10}=1.16805066$ である一方、$1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$ である。2 つは小数第 8 位まで一致するので、解集合は $x=0$ と $x\approx 0.0156549$ である。