x について解け：1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 9.33020554 × 10¹⁰。

Step-by-step solution

1. 1

   分かっているほうの逆数の 3 乗を計算する。 仮数を 3 乗し、指数を 3 倍する。

   $\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13} \ \Longrightarrow \ \frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 8\times 10^{12}$

2. 2

   移項し、足す前に 10 の累乗をそろえる。

   $\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 9.33020554\times 10^{10}$

   大きいほうの項を小さいほうの指数に書き直すと

   $8\times 10^{12} = 800\times 10^{10}$

   $\frac{1}{x^3} = (800 + 9.33020554)\times 10^{10} = 809.33020554\times 10^{10} = 8.0933020554\times 10^{12}$

3. 3

   逆数をとって x³ を出す。

   $x^3 = \frac{1}{8.0933020554\times 10^{12}} = 1.235590\times 10^{-13}$

4. 4

   指数を 3 の倍数に直してから 3 乗根をとる。

   $x = \sqrt[3]{123.5591\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{123.5591}\times 10^{-5} = 4.98071\times 10^{-5}$

5. 5

   これを 5×10⁻⁵ に丸めてはいけない。その理由を確かめる。 答えは問題文の定数に紛らわしいほど近いが、$x = 5\times 10^{-5}$ ちょうどであれば

   $\frac{1}{(5\times10^{-5})^3} - \frac{1}{(5\times10^{-5})^3} = 0$

   となり、$9.33\times 10^{10}$ にはならない。この 2 つはそもそも別物として作られており、差を丸めて消してしまえば方程式そのものが壊れる。

6. 6

   答えを検算し、ずれがなぜこれほど小さいのかを見る。 $x = 4.98071\times 10^{-5}$ とすると

   $\frac{1}{x^3} - 8\times 10^{12} = 9.3302\times 10^{10} \ \checkmark$

   である。右辺は $8\times 10^{12}$ のわずか $1.17\%$ にすぎず、$x \propto (1/x^3)^{-1/3}$ なので、$1/x^3$ の $1.17\%$ の変化が $x$ を動かす量はおよそ $1.17/3 \approx 0.39\%$ である。すなわち $5.0000\times10^{-5}$ から $4.9807\times10^{-5}$ へ下がる。