(1+x)³⁶ + (1+x)³⁵ + (1+x)³⁴ + (1+x)³³ + (1+x)³² + (1+x)³¹ + (1+x)³⁰ + (1+x)²⁹ + (1+x)²⁸ + (1+x)²⁷ = 70/3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   置き換えて等比の構造を露わにする。 $y = 1 + x$ とおく。10 個の項は $y$ の連続する累乗になるので

   $y^{27} + y^{28} + \cdots + y^{36} = \frac{70}{3}$

   となる。$y$ で書けば、ばらばらに見えた和が等比級数に変わり、二項展開をしたくなる誘惑も消える。

2. 2

   最低次の累乗をくくり出して級数の和を求める。

   $y^{27}\left(1 + y + y^2 + \cdots + y^9\right) = y^{27}\cdot\frac{y^{10} - 1}{y - 1} = \frac{70}{3}, \qquad y \ne 1$

   かっこの中は公比 $y$ の $10$ 項の等比級数である。

3. 3

   y = 1 での値から解の位置を絞る。 $y = 1$ ではすべての項が $1$ なので、左辺はちょうど $10$ である。$\frac{70}{3} \approx 23.33 > 10$ であり、$y > 0$ ではこの和は狭義単調増加なので（各 $y^n$ が増加する）、解は $y > 1$、すなわち $x > 0$ を満たさなければならない。狭義単調性から、そのような解がちょうど 1 つであることも保証される。

4. 4

   数値で挟み込む。 $f(y) = \sum_{n=27}^{36} y^n$ の値を求めると

   $f(1.02) \approx 18.69, \qquad f(1.025) \approx 21.82, \qquad f(1.03) \approx 25.46$

   となるので、解は $1.025$ と $1.03$ の間にある。$f$ の増え方が急なので（$y = 1.03$ 付近の導関数はおよそ $785$）、中点よりやや下寄りである。

5. 5

   精度を上げて元に戻す。 二分法で十分な精度まで詰めると

   $y \approx 1.0271668 \ \Longrightarrow \ x = y - 1 \approx 0.0271668$

   となる。検算すると $\sum_{n=27}^{36}(1.0271668)^n = 23.333346$ で、$\frac{70}{3} = 23.333333$ と有効数字 6 桁まで一致する。途中の $y$ を小数第 3 位（$1.028$）まで丸めてしまうと和はすでに約 $23.94$ に跳ね上がるので、桁は多めに保つこと。

6. 6

   閉じた形が存在しないことを押さえる。 この方程式は有理数解も円分的な構造も持たない $36$ 次の多項式に帰着するので、答えは数値解になる。また単調性の議論が使えるのは $y>0$ の範囲だけである。$y<0$ では奇数乗が負になるので和はもはや単調増加ではない。$[-3,3]$ を走査すると符号の変化がもう 1 か所見つかり——$f(-1.11)=14.59$ と $f(-1.15)=61.67$ が $70/3$ を挟む——二分法により $y\approx-1.1226359$、すなわち $x\approx-2.1226359$ が得られる。したがってこの方程式は実数解を2 つ持ち、正のほうで止めると答えの半分を失うことになる。