連立 1/x + 1/y = −1、3/x − 2/y = 7 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   逆数を新しい文字に置き換える。 分母を払うと $xy$ という 2 次の交差項が出てしまう。そこで

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   と置く。すると連立は完全に一次になる：

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   もとの方程式が意味をもつためには $x$ も $y$ も 0 でなければならないので、この置き換えで失われるものはない。

2. 2

   一方の未知数を消去する。 1 つめの式から $a = -1 - b$ である。これを 2 つめに代入すると：

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   a に戻して代入する。

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   置き換えをほどく。 $a = \tfrac1x = 1$ より $x = 1$ であり、$b = \tfrac1y = -2$ より

   $y = -\frac{1}{2}$

   となる。どちらも 0 ではないので、ともに認められる。

5. 5

   もとの方程式で検算する。 $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$ であり、$\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$ である。どちらもぴったり成り立つ。