a、b を定数として (x^a)^(−b) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   累乗の累乗の法則を適用する。 底 $u$ と指数 $m,n$ について、

   $\left(u^m\right)^n=u^{mn}$

   が成り立つ。指数は掛け合わせる。よくある取り違えは足してしまうことだが、それは $u^m\cdot u^n$ のほうの法則である。

2. 2

   与えられた指数を代入する。 $u=x$、$m=a$、$n=-b$ として：

   $\left(x^a\right)^{-b}=x^{a\cdot(-b)}=x^{-ab}$

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   負の指数を逆数に直す。 定義により $u\neq 0$ のとき $u^{-k}=\tfrac{1}{u^k}$ である：

   $x^{-ab}=\frac{1}{x^{ab}}$

   どちらの形も正しい。「簡単にする」が「負の指数を残さない」という意味であれば、ふつうは分数の形が好まれる。

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   定義域の制限を述べる。 この変形には $x\neq 0$ が必要であり、指数が任意の実数の場合は $x^a$ が定義されるように $x>0$ とするのが標準的な約束である。その条件のもとで、この等式はぴったり成り立つ。

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   数値で確かめる。 $x=2$、$a=3$、$b=2$ をとると、もとの式は $\left(2^3\right)^{-2}=8^{-2}=\tfrac{1}{64}$ であり、$x^{-ab}=2^{-6}=\tfrac{1}{64}$ $\checkmark$。整数でない場合も試すと、$x=2.3$、$a=1.7$、$b=0.8$ では $\left(2.3^{1.7}\right)^{-0.8}\approx 0.322144$ と $2.3^{-1.36}\approx 0.322144$ $\checkmark$ になる。