方程式 √(x√x) = 2x を解け。

Step-by-step solution

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   入れ子の根号をひとつの冪に直す。 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ と指数法則を使うと：

   $x\sqrt x=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}$

   となるので、方程式は $x^{3/4}=2x$ である。

2. 2

   定義域を定める。 $\sqrt{x}$ も外側の根号も $x\ge 0$ を要求し、そのとき右辺の $2x$ も $\ge 0$ になる——整合的である。したがって探索するのは $[0,\infty)$ の中だけである。

3. 3

   割る前に $x=0$ を別扱いする。 $x=0$ では左辺が $\sqrt{0}=0$、右辺も $0$ なので、$x=0$ は解である。次の段階で $x$ の冪で割るとこれが消えてしまうので、先に確認しておく。

4. 4

   $x>0$ について $x^{3/4}$ で割って解く。

   $1=2x^{1-3/4}=2x^{1/4}\quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$

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   両方の解を元の方程式で検証する。 $x=\tfrac1{16}$ では $\sqrt{x}=\tfrac14$ なので $x\sqrt x=\tfrac1{16}\cdot\tfrac14=\tfrac1{64}$、$\sqrt{\tfrac1{64}}=\tfrac18$ であり、一方 $2x=\tfrac18$ $\checkmark$。$x=0$ では $0=0$ $\checkmark$。$x$ が大きいところでは $x^{3/4}$ の伸びが $2x$ より遅いので、これ以上の交点はあり得ない。