分数 256/625 をべきの形で書け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず分子と分母を素因数のべきに直す。 割り算を繰り返すと

   $256=2^{8},\qquad 625=5^{4}$

   となる。これだけでも $\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$ という 1 つの答えにはなっているが、指数が違うのでまだ 1 つのべきとしては書けない。

2. 2

   共通の指数を探す。 $8=4\cdot 2$ なので、分子を 4 乗の形にまとめ直す。

   $2^{8}=\left(2^{2}\right)^{4}=4^{4}$

   これで分子と分母がともに同じ指数 $4$ をもつ：$256=4^4$、$625=5^4$。

3. 3

   同じ指数を分数のべきにまとめる。 べきの商の法則 $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ は、指数が一致するときにちょうど使える。

   $\frac{256}{625}=\frac{4^{4}}{5^{4}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$

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   値を確かめる。 $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}=\dfrac{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\dfrac{256}{625}$。✓ また $\dfrac{256}{625}$ はすでに既約である。$2$ と $5$ に共通因数が無いからであり、約分ができなかったのはそのためである。

5. 5

   どちらの形で答えるべきかを押さえる。 $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4}$ が求められている「1 つのべき」であり、$\dfrac{2^{8}}{5^{4}}$ は素因数分解した形である。どちらも正しいが、1 つの底の 1 つのべきになっているのは前者だけである。