x² + 3² + 1 を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   ほかに手をつける前に、数の累乗を計算する。 計算の順序では指数が足し算より先であり、$3^{2}$ には文字がまったく含まれないので、これは単なる数である：

   $3^{2}=3\times3=9$

   よくある間違いは $3^{2}$ を $3\times2=6$ と読んでしまうことである。指数が数えているのはいくつ掛け合わせるかであって、掛ける相手ではない。

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   その値を入れて式を書き直す。

   $x^{2}+3^{2}+1=x^{2}+9+1$

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   定数だけをまとめる。 $9$ と $1$ は（どちらも純粋な数なので）同類項であり、足し合わせられる。$x^{2}$ の項は文字をもつので同類項ではなく、この計算には加われない：

   $9+1=10\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+10$

   とくに、$x^{2}+9$ が $x^{2+9}$ や $9x^{2}$ になることはない。足し算が文字の項と定数を 1 つにまとめることは決してない。

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   2 つの値で確かめる。 $x=2$ では、もとの式が $4+9+1=14$、簡単にした形が $4+10=14$ ✓。$x=-5$ では $25+9+1=35$ と $25+10=35$ ✓。$-20$ から $19$ までのすべての整数で一致する ✓。

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   この形が何を語っているかを見る。 $x^{2}+10$ は放物線を上に $10$ だけ平行移動したものなので、最小値は $x=0$ のときの $10$ であり、決して 0 にならない。$x^{2}+10=0$ となるには $x^{2}=-10$ が必要だが、実数 $x$ ではそれはありえないからである。つまり、どの実数 $x$ に対しても $x^{2}+3^{2}+1>0$ である。