f(x) = x² + 1 のグラフをかき、頂点・対称軸・値域を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   もとになる関数と変換を見抜く。 標準形 $a(x-h)^2+k$ で書くと、この関数は $1\cdot(x-0)^2+1$ なので $a=1$、$h=0$、$k=1$ である。つまり、もとの放物線 $y=x^2$ を上へ 1 だけ平行移動したものである。$a=1$ なので、拡大も反転も起きていない。

2. 2

   頂点・軸・開く向きを読み取る。 頂点は $(h,k)=(0,1)$、対称軸は鉛直な直線 $x=h=0$（$y$ 軸）である。$a=1>0$ なので放物線は上に開き、頂点は最小を与える。

3. 3

   対称な小さい値の表を作る。

   $f(-2)=5,\quad f(-1)=2,\quad f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=5$

   鏡映の組で $y$ の値が繰り返される（$\pm1\mapsto 2$、$\pm2\mapsto 5$）ことは、軸が本当に $x=0$ であることの直接の確認になる。

4. 4

   切片を調べる。 $x=0$ とすると $y$ 切片は $(0,1)$ である。$x$ 切片については $x^2+1=0$ が必要で、これは $x^2=-1$ を意味するが実数解を持たない。したがって曲線は $x$ 軸を決して横切らない。最小値が $1>0$ であることから予想されるとおりである。

5. 5

   仕上がったグラフを説明する。 $(0,1)$ を打ち、続いて $(\pm1,2)$ と $(\pm2,5)$ を打って、上に開いたなめらかな U 字でつなぐ。幅は $y=x^2$ と同じである。定義域はすべての実数、値域は $y\ge 1$、すなわち $[1,\infty)$ である。