(20x²y²)/z⁵ の平方根を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   それぞれの因数を「平方数 × 残り」に分ける。

   $20=4\cdot 5,\qquad z^5=z^4\cdot z$

   すると根号の中身は次のようになる。

   $\frac{4\cdot 5\cdot x^2y^2}{z^4\cdot z}$

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   平方数の平方根をとる。必要なところには絶対値をつける。 $\sqrt{u^2}=|u|$ であって $u$ ではない：

   $\sqrt4=2,\quad\sqrt{x^2}=|x|,\quad\sqrt{y^2}=|y|,\quad\sqrt{z^4}=z^2$

   $z^2$ はもともと 0 以上なので絶対値の記号は要らない。ここまでの結果は次のとおり。

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}$

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   定義域を確認する。 もとの式は（平方根の中の分母に $z$ の奇数乗があるので）$z>0$ を要求する。$z$ 自身に絶対値が要らないのはそのためである。

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   分母を有理化する。 分母と分子に $\sqrt z$ を掛ける：

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}\cdot\frac{\sqrt z}{\sqrt z}=\frac{2|xy|\sqrt{5z}}{z^3}$

   $\sqrt5\cdot\sqrt z=\sqrt{5z}$ であり、$z^2\cdot z=z^3$ だからである。

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   数値で検算する。 $x=2$、$y=3$、$z=4$ をとると、根号の中身は $\tfrac{20\cdot 4\cdot 9}{1024}=0.703125$ で、その平方根は $0.83853$ である。簡単にした形からは $\tfrac{2\cdot 6\sqrt{20}}{64}=\tfrac{12\cdot 4.47214}{64}=0.83853$ $\checkmark$ が得られる。すべての変数が正だと仮定してよいなら、答えは $\tfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^3}$ と書いてもよい。