変数はすべて 0 以上の実数を表すものとして、積の法則を使って √(3x)·√(21x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   1 つの根号にまとめる。 積の法則 $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ が使えるのは $a, b \ge 0$ のときで、「0 以上」という仮定がそれを保証している：

   $\sqrt{3x}\cdot\sqrt{21x} = \sqrt{(3x)(21x)}$

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   根号の中身を掛ける。

   $(3x)(21x) = 63x^2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{63x^2}$

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   平方数の因数を外に出す。 $63 = 9 \times 7$ と分解すると、$9$ は平方数で $7$ は平方因数をもたない：

   $\sqrt{63x^2} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{x^2} = 3\sqrt{7}\cdot\sqrt{x^2}$

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   文字の根号を処理する。 一般には $\sqrt{x^2} = |x|$ だが、問題文が $x \ge 0$ としているので絶対値は不要で $\sqrt{x^2} = x$ となる。したがって

   $\sqrt{3x}\cdot\sqrt{21x} = 3x\sqrt{7}$

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   x = 3 で数値検算する。 もとの式は $\sqrt{9}\cdot\sqrt{63} = 3 \times 7.937254 = 23.811762$ である。簡単にした形からは $9\sqrt7 = 9 \times 2.645751 = 23.811762$ が得られる。小数第 6 位まで一致する。