(4a⁻⁸ b² / (12a⁷ b⁻⁴)) の 0 乗を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   まず最も外側の演算を読む。 分数全体が $0$ 乗されている。計算の順序によればこの指数は括弧全体に掛かるので、中身がどれほど込み入っていようと、底が 0 かどうかさえ分かれば関係がない。

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   0 乗の法則を使う。 0 でない量 $u$ について

   $u^{0}=1$

   である。この法則は商の法則から導かれる。$u^{0}=u^{n-n}=\dfrac{u^{n}}{u^{n}}=1$ であり、まさにこれが $u=0$ を除かなければならない理由である。それでは $\tfrac00$ を要求することになるからである。

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   底が 0 でないことを確かめる。 底は $\dfrac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}$ である。負の指数がある時点で $a\neq0$ と $b\neq0$ が要求されており、その条件のもとでは分子 $4a^{-8}b^{2}$ は 0 でない因数の積なので 0 にならない。よってこの法則が使える：

   $\left(\frac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}\right)^{0}=1$

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   省けた手間に目を向ける。 底を簡単にすれば $\dfrac{4}{12}a^{-8-7}b^{2-(-4)}=\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}$ となり、これは正しいがここでは無意味である。結局 $\left(\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}\right)^{0}=1$ に変わりないからである。外側の指数を先に見抜けば、何段階もの練習問題が 1 行の答えになる。

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   条件を添えて答えを述べる。

   $1,\qquad a\neq0,\ b\neq0$

   答えは純粋な数 $1$ である。$0$ でもなく、$a$ や $b$ を含む式でもない。手早い確認として、$a=b=1$ のとき底は $\tfrac4{12}=\tfrac13$ であり、$\left(\tfrac13\right)^{0}=1$ ✓。